Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有兩個不同的零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先求導得到，再分別討論，，和時的單調性即可.

（2）根據（1）的單調性分別討論，，，和時的零點個數即可.

（1）.

①當時，在區間單調遞增；在區間單調遞減.

②當時，令，，，且，

則在區間單調遞增；在區間和 單調遞減.

③當時，令，，

成立，則在R上單調遞減；

④當時，令，，，且，

則在區間單調遞增；在區間和單調遞減.

（2）當時，由（1）知，.

則在區間有且只有一零點.

當時，，則，

故

則在區間有且只有一零點.滿足題意；

當時，，易知有且只有一個零點；

當時，若，

在區間單調遞減，故不存在兩個零點；

當時， 在上單調遞減，不存在兩個零點；

當時， 在區間單調遞減，在區間單調遞增，

，故不存在兩個零點；

綜上所述：當時，有兩個不同的零點.