Question

在四棱錐P -ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,對角線AC與BD交于點O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.

(1)求四棱錐的體積.
(2)若E是PB的中點,求異面直線DE與PA所成角的余弦值.

Answer 1

(1)2    (2)

(1)在四棱錐P-ABCD中,
∵PO⊥平面ABCD,
∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,
即∠PBO=60°.
在Rt△POB中,
∵BO=AB·sin30°=1,
又PO⊥OB,
∴PO=BO·tan60°=,
∵底面菱形的面積S_菱形ABCD=2.
∴四棱錐P -ABCD的體積
V_{P -ABCD}=×2×=2.
(2)取AB的中點F,連接EF,DF,

∵E為PB中點,
∴EF∥PA.
∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或補角).
在Rt△AOB中,
AO=AB·cos30°==OP,
∴在Rt△POA中,PA=,
∴EF=.
∵四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,
∴△ABD為正三角形.
又∵∠PBO=60°,BO=1,
∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD為正三角形,
∴DF=DE=,
∴cos∠DEF=
===.
即異面直線DE與PA所成角的余弦值為.