Question

給出下列四個命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1；
②當x＞1時，有1nx+

1

lnx

≥2；
③函數f(x)=

lnx-x2+2x，(x＞0) 2x+1，(x≤0)

的零點個數有3個；
④設有五個函數y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函數又在（0，+∞）上是增函數的有2個．
其中真命題的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①原命題是特稱命題，其否定為全稱命題，將“存在”改為“任意的”，“＞“改為“≤”即可得答案；
②利用均值不等式進行判斷，注意取等號時的情況，從而進行判斷；
③求分段函數的零點，x≤0時的情況比較好判斷，只有一個，x＞0的情況，可以利用導數和零點定理進行判斷；
④根據偶函數的性質f（-x）=f（x），和導數進行判斷增減性；

解答：解：①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＞1，故①錯誤；
②∵當x＞1時，有1nx+

1

1nx

≥2

lnx× 1 lnx

=2，當lnx=

1

lnx

即x=e時等號成立，故②正確；
③當x≤0時，f（x）=2x+1=0，得x=-

1

2

，有一個交點；
當x＞0時，f（x）=lnx-x²+2x，求導f′（x）=

1

x

-2x+2=

1-2x2+2x

x

，因為y=-2x²+2x+1開口向下，△=4-4（-2）1=12，令f′（x）=0，解得x=

1+ 3

2

或x=

1- 3

2

，
若f′（x）＞0，可得0＜x＜

1+ 3

2

，f（x）為增函數，
若f′（x）＜0，可得x＞

1+ 3

2

，f（x）為減函數；
當x→0時，f（x）＜0，f（

1+ 3

2

）＞0，f（x）與x軸有兩個交點；故③正確；
④有五個函數y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，
根據f（-x）=f（x），
可知y=x²，y=2^|x|為偶函數，
且y=x²，y=2^|x|在（0，+∞）上為增函數，
故④正確；
故選C；

點評：此題考查否命題的定義均值不等式的應用以及偶函數的性質，考查的知識點比較多，是一道綜合題；