Question

【題目】已成橢圓 的離心率為 ．其右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的距離為 ，過(guò)點(diǎn) 的直線 與橢圓 相交于 兩點(diǎn)．
（1）求橢圓 的方程；
（2）設(shè) 是 中點(diǎn)，且 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，當(dāng) 時(shí)，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

由題意可知： ，又 ，

∴ ，所以橢圓 的方程為 ；

（2）

①若直線 的斜率不存在，此時(shí) 為原點(diǎn)，滿足 ，所以，方程為 ，

②若直線 的斜率存在，設(shè)其方程為 ，

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得

，即 ，

可得 ，

設(shè) ，則 ，

由 可知 ，

化簡(jiǎn)得 ，

解得 或 ，將結(jié)果代入 驗(yàn)證，舍掉 ，

此時(shí)，直線 的方程為 ，

綜上所述，直線 的方程為 或 .

【解析】（1）易知焦點(diǎn)在x軸上，原點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為a，原點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為b，依據(jù)題意有a+b=5，然后根據(jù)離心率即可求出a、b的值；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①斜率不存在時(shí)；②斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，表示出M的坐標(biāo)，通過(guò)QM⊥AB，求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線方程。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的概念和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為橢圓的焦距；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．