Question

（2009•湖北）過拋物線y²=2px（p＞0）的對稱軸上一點A（a，0）（a＞0）的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線l：x=-a作垂線，垂足分別為M₁、N₁．
（Ⅰ）當a=

p

2

時，求證：AM₁⊥AN₁；
（Ⅱ）記△AMM₁、△AM₁N₁、△ANN₁的面積分別為S₁、S₂、S₃，是否存在λ，使得對任意的a＞0，都有S₂²=4S₁S₃成立？若存在，求出λ的值，否則說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由題意，可設設直線MN的方程為x=my+a，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂）．將x=my+a代入y²=2px（p＞0）消去x可得y²-2mpy-2ap=0利用根與系數的關系及點A（a，0）得出

AM1

•

AN1

=0即可證明出結論；
（Ⅱ）假設存在λ=4，使得對任意的a＞0，都有S₂²=4S₁S₃成立，分別表示出三個三角形的面積，代入驗證即可證明出結論

解答：解：依題意，可設直線MN的方程為x=my+a，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有M₁（-a，y₁），N₁（-a，y₂）．
將x=my+a代入y²=2px（p＞0）消去x可得y²-2mpy-2ap=0    
從而有y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-2ap                                                          ①
于是x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2a=2（m²p+a）                                    ②
又由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂可得x₁x₂=

(y1y2)2

4p2

=

( -2ap)2

4p2

=a²        ③
（Ⅰ）證：如圖，當a=

p

2

時，點A（

p

2

，0）即為拋物線的焦點，
l為其準線，其方程為x=-

p

2

此時M₁（-

p

2

，y₁），N₁（-

p

2

，y₂）．并由 ①可得y₁y₂=-p²
∵

AM1

=(-p，y1)，

AN1

=(-p，y2)，
∴

AM1

•

AN1

=(-p，y1)•(-p，y2)=p2+y1y2=0，故有 AM₁⊥AN₁；
 （Ⅱ）存在λ=4，使得對任意的a＞0，都有S₂²=4S₁S₃成立，證明如下：
證：記直線l與x軸的交點為A₁，則|OA|=|OA₁|=a．
于是有S₁=

1

2

|MM₁||A₁M₁|=

1

2

（x₁+a）|y₁|，S₂=

1

2

|M₁N₁||AA₁|=a|y₁-y₂|，S₃=

1

2

|NN₁||A₁N₁|=

1

2

（x₂+a）|y₂|，
∴S₂²=4S₁S₃?（a|y₁-y₂|））²=（

1

2

（x₁+a）|y₁|）² ×（

1

2

（x₂+a）|y₂|）² ?a²[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]=[x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²]|y₁y₂|
將①、②、③代入上式化簡可得
a²（4m²p²+8ap）=4a²p（m²p+2a）上式恒成立，即對任意的a＞0，S₂²=4S₁S₃成立

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查了根與系數的關系，三角形的面積公式，拋物線的性質等，解題的關鍵是認真審題準確轉化題設中的關系，本題綜合性強，符號計算運算量大，解題時要認真嚴謹避免馬虎出錯．