Question

（2009•湖北模擬）已知點F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若A、B和雙曲線的一個頂點構成的三角形為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A．（1，1+

  2

  ）
• B．（1，

  3

  ）
• C．（

  2

  -1，1+

  2

  ）
• D．（1，2）

Answer 1

分析：根據雙曲線的對稱性，得到等腰△ABE中，∠AEB為銳角，可得|AF₁|＜|EF₁|，將此式轉化為關于a、c的不等式，化簡整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：：解：根據雙曲線的對稱性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是銳角三角形，即∠AEB為銳角
由此可得Rt△AF₁E中，∠AEF＜45°，得|AF₁|＜|EF₁|
∵|AF₁|=

b2

a2

=

c2-a2

a

，|EF₁|=a+c
∴

c2-a2

a

＜a+c，即2a²+ac-c²＞0
兩邊都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵雙曲線的離心率e＞1
∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2）
故選D．

點評：本題給出雙曲線過一個焦點的通徑與另一個頂點構成銳角三角形，求雙曲線離心率的范圍，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．