Question

【題目】已知點C為圓（x+1）2+y2=8的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A（1，0）和AP上的點M，滿足 =0， =2 ．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）若斜率為k的直線 l與圓x2+y2=1相切，直線 l與（1）中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F，H，O是坐標原點，且 ≤ ≤ 時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知MQ中線段AP的垂直平分線，

∴ ，

∴點Q的軌跡是以點C，A為焦點，焦距為2，長軸為 的橢圓， ，

故點Q的軌跡方程是 ．

（2）解：設直線l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）

直線l與圓x2+y2=1相切

聯立 ，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，

△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，

∴ ，

= = = ，

∴

為所求

【解析】（1）利用線段的垂直平分線的性質、橢圓的定義即可得出．（2）設直線l：y=kx+b，F（x1 ， y1），H（x2 ， y2）直線l與圓x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直線方程與橢圓方程聯立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用數量積運算性質、根與系數的關系及其 ≤ ≤ ，解出即可得出．