Question

求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：
（1）中心在原點，焦點在 x軸上，短軸長為12，離心率為

4

5

的橢圓；
（2）拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點，且與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的交點為(

3

2

，

6

)，求拋物線與雙曲線的方程．

Answer 1

（1）∵橢圓中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為12，
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵離心率為e=

4

5

，b=6，
∴

a2-62

a

=

4

5

，解之得a=10，
從而得到橢圓方程為

x2

100

+

y2

36

=1；
（2）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵拋物線與雙曲線的交點為(

3

2

，

6

)，
∴6=2p×

3

2

，可得p=2，
可得拋物線方程為y²=4x，準線方程為x=-1
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點在拋物線的準線上，∴c=1
又∵(

3

2

，

6

)是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點
∴

9 4

a2

-

6

b2

=1，
聯解①②，可得a²=

1

4

，b²=

3

4

，得到雙曲線的方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1
∴拋物線的方程為y²=4x，雙曲線的方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．