Question

【題目】函數，且恒成立.

（1）求實數的集合；

（2）當時，判斷圖象與圖象的交點個數，并證明.

（參考數據：）

Answer 1

【答案】（1）；（2）2個，證明見解析

【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；

（2）將圖像與圖像的交點個數轉化為方程實數解的個數問題，然后構造函數，再利用導數討論此函數零點的個數.

（1）的定義域為，因為，

1°當時，在上單調遞減，時，使得，與條件矛盾；

2°當時，由，得；由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，

若；

若；而時，，要使恒成立，

故.

（2）原問題轉化為方程實根個數問題，

當時，圖象與圖象有且僅有2個交點，理由如下：

由，即，令，

因為，所以是的一根；，

1°當時，，

所以在上單調遞減，，即在上無實根；

2°當時，，

則在上單調遞遞增，又，

所以在上有唯一實根，且滿足，

①當時，在上單調遞減，此時在上無實根；

②當時，在上單調遞增，

，故在上有唯一實根.

3°當時，由（1）知，在上單調遞增，

所以，

故，所以在上無實根.

綜合1°，2°，3°，故有兩個實根，即圖象與圖象有且僅有2個交點.