Question

【題目】已知函數， .

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求在區間上的最大值和最小值；

（3）當時，若方程在區間上有唯一解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為；（3）

【解析】試題分析：（1）由可得切線斜率，再由點斜式可得切線方程；

（2）由，可得，所以在區間上單調遞增，從而可得最值；

（3）當時， .設， ，分析可知在區間上單調遞減，且， ，所以存在唯一的，使，即，結合函數單調性可得解.

試題解析：

（1）當時， ，

所以， .

又因為，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2）當時， ，

所以．

當時， ， ，

所以.

所以在區間上單調遞增．

因此在區間上的最大值為，最小值為.

（3）當時， .

設， ，

因為， ,所以.

所以在區間上單調遞減．

因為， ，

所以存在唯一的，使，即.

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．

因為， ，又因為方程在區間上有唯一解，

所以.