【題目】已知拋物線
焦點為
，直線
過與拋物線交于
兩點.到準線的距離之和最小為8.
（1）求拋物線方程；
（2）若拋物線上一點
縱坐標為
，直線
分別交準線于
.求證：以
為直徑的圓過焦點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）根據題意及拋物線定義，可知
，從而可求出拋物線方程；
（2）當直線
與
軸垂直時，求出
，
的坐標，進而證得以
為直徑的圓過焦點
；當直線與軸不垂直時，設出直線方程，
點和
點坐標，并與拋物線方程聯立，
借助根與系數的關系以及向量數量積的坐標表示，證得
，從而證出以為直徑的圓過焦點.
（1）
到準線的距離之和等于到焦點的距離之和，即為
，
最小為通徑，所以，解得
，
所以拋物線方程為.
（2）拋物線焦點
，準線方程：
，
由
點縱坐標為
，得
，
當直線與軸垂直時，
直線方程為
，此時，
，
，
直線
：
，直線
：
，
所以，
，
，
所以，圓心坐標為
，半徑
，
焦點到圓心的距離
，
此時，以為直徑的圓過焦點.
當直線與軸不垂直時，
設直線
，設
，
，得
，
，
，
直線為
代入準線得：
同理可得
，
所以
，所以焦點在以為直徑的圓上.
綜上，以為直徑的圓過焦點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，圓
.以極點
為原點，極軸為
軸正半軸建立直角坐標系
，直線
經過點
且傾斜角為
.
求圓
的直角坐標方程和直線的參數方程；
已知直線與圓交與
，
，滿足為
的中點，求.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，離心率等于
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點
作直線
交橢圓于
、
兩點，交
軸于
點，若
，
，求證：
為定值.
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