Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）•
（I）設b_n=a_n+2，求數列{b_n}的通項公式；
（II）若數列{c_n}滿足c_nlog₂b_n，求數列{

cn

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）、根據題中已知條件S_n=2a_n-2n（n∈N^*），得出n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）此兩式作差整理即可得到入b_n所滿足的關系，從而可求出數列{b_n}的通項公式；
（II）根據題中的條件先求出數列{c_n}的通項公式，然后求出

cn

bn

的表達式，寫出數列{

cn

bn

}的前n項和T_n的表達式，然后利用差項相減法便可求出T_n的值．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2（n≥2）．…（3分）
又∵a₁=2，可知a_n＞0，
∴當n≥2時，

bn

bn-1

=

an+2

an-1+2

=

2an-1+4

an-1+2

=2（常數），
∴{b_n}是以b₁=a₁+2=4為首項，2為公比的等比數列，
∴數列{b_n}的通項公式b_n=2ⁿ⁺¹．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=log₂b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
∴

cn

bn

=

n+1

2n+1

，…（8分）
則Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，…①

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，…②
兩式相減得，

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

…（10分）
=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

．
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．…（12分）

點評：本題考查了數列通項公式和前n項和的求法，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．