Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是線段PB的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）求證：AQ∥平面PCD．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AC，AB平面ABCD，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，
∵PB⊥AC，AP⊥AC，PA，PB平面PAB，PA∩PB=P，
∴AC⊥平面PAB，
∵AB平面PAB，
∴AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A；
∴AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PC中點E，連結QE，ED，
∵Q是線段PB的中點，E是PC的中點，
∴QE∥BC，BC=2AD，
∴QE∥AD，QE=AD，
∴四邊形AQED是平行四邊形，
∴AQ∥DE，
∵AQ∥ED，ED平面PCD，
∴AQ∥平面PCD．


【解析】（Ⅰ）根據線面垂直的性質及PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥AC，PA⊥AB，進而利用PB⊥AC，推斷出AC⊥平面PAB，利用線面垂直性質可知AC⊥AB，再根據PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A推斷出AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PC中點E，連結QE，ED，推斷出QE為中位線，判讀出QE∥BC，BC=2AD，進而可知QE∥AD，QE=AD，判斷出四邊形AQED是平行四邊形，進而可推斷出AQ∥DE，最后根據線面平行的判定定理證明出AQ∥平面PCD．