Question

下列說法：
①函數f（x）=lnx+3x-6的零點只有1個且屬于區間（1，2）；
②若關于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；
③函數y=x的圖象與函數y=sinx的圖象有3個不同的交點；
④函數y=sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0，

π

4

]的最小值是1．
正確的有

 

．（請將你認為正確的說法的序號都寫上）

Answer 1

分析：根據函數零點判定定理，判斷①是否正確；
根據不等式恒成立的條件，判斷②是否正確；
利用三角函數線與角的弧度數的大小，判斷③是否正確；
用換元法求得三角函數的最小值，來判斷④是否正確．

解答：解：對①，f（1）=-3，f（2）=ln2＞0，∵f（-1）×f（2）＜0，且f（x）在（1，2）上是增函數，∴函數在（1，2）內只有一個零點．故①正確；
對②關于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立⇒a=0或

a＞0 △＜0

⇒0≤a＜1．故②不正確；
對③根據正弦線|sinx|≤|x|當且僅當x=0取“=”，∴只有一個交點，故③不正確；
對④設t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∴t∈[1，

2

]，y=

t2-1

2

+t=

1

2

（t+1）²-1，∴函數的最小值是1．故④正確．
故答案是①④

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查函數零點存在性定理、三角函數求最值等問題．