Question

已知點F（1，0），直線l：x=2，設動點P到直線l的距離為d，已知|PF|=

2

2

d且

2

3

≤d≤

3

2

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若

PF

•

OF

=

1

3

，求向量

OP

與

OF

的夾角．

Answer 1

分析：（1）利用兩點的距離公式及點到直線的距離公式將已知幾何條件用坐標表示，化簡求出軌跡方程，注意求出定義域．
（2）求出三個向量的坐標，先利用向量的坐標形式數量積公式求出數量積，列出方程求出x，代入軌跡方程，求出點的坐標，利用向量的數量積公式求出兩個向量的夾角．

解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），則 |PF|=

(x-1)2+y2

，d=|2-x|，
∴

(x-1)2+y2

|2-x|

=

2

2

化簡得

x2

2

+y2=1
又

2

3

≤d=2-x≤

3

2

∴

1

2

≤x≤

4

3

即動點p的軌跡方程為

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)
（2）∵

PF

=(1-x，-y)，

OF

=(1，0)，

OP

=(x，y)
∴

PF

•

OF

=1-x=

1

3

∴x=

2

3

，代入

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)得 y=±

7

3

∴

OP

=(

2

3

，

7

3

)或(

2

3

，-

7

3

)∴cos＜

OP

，

OF

＞=

OP • OF

| OP || OF |

=

2 11

11

∴

OP

與

OF

的夾角為arccos

2 11

11

．

點評：本題考查求向量的夾角需要考慮利用向量的數量積、考查求軌跡方程時，在化簡方程時要注意同解變形，求出方程的定義域、考查解決焦點三角形問題常考慮利用圓錐曲線的定義．