Question

（2010•上海）在平面上，給定非零向量

b

，對任意向量

a

，定義

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

．
（1）若

a

=（2，3），

b

=（-1，3），求

a′

；
（2）若

b

=（2，1），證明：若位置向量

a

的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量

a′

的終點也在一條直線上；
（3）已知存在單位向量

b

，當位置向量

a

的終點在拋物線C：x²=y上時，位置向量

a′

終點總在拋物線C′：y²=x上，曲線C和C′關(guān)于直線l對稱，問直線l與向量

b

滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，算出

a

•

b

=7，

|b|

2=10，代入

a′

的表達式并化簡整理，即可得到

a′

=（

17

5

，-

6

5

）；
（2）設(shè)

a

=（x'，y'），終點在直線Ax+By+C=0上，由題中

a′

的表達式解出

a′

=（x，y）滿足的關(guān)系式，從而得到點
（

-3x-4y

5

，

-4x+3y

5

）在直線Ax+By+C=0上，化簡整理得到直線（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，說明向量

a′

的終點也在一條直線上；
（3））設(shè)

a

=（x，y），單位向量

b

=（cosθ，sinθ），解出

a′

關(guān)于x、y和θ的坐標形式，結(jié)合

a

的終點在拋物線x²=y上且

a′

終點在拋物線y²=x上，建立關(guān)于x、y和θ的方程，化簡整理得到

b

=±（

2

2

，

2

2

）．再由曲線C和C′關(guān)于直線l：y=x對稱，算出l的方向向量

d

滿足

d

•

b

=0，從而得到直線l與向量

b

垂直．

解答：解：（1）∵

a

=（2，3），

b

=（-1，3），
∴

a

•

b

=7，

|b|

2=10，可得

2( a • b )

| b |2

b

=

2×7

10

（-1，3）=（-

7

5

，

21

5

）
因此

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

=（2，3）-（-

7

5

，

21

5

）=（

17

5

，-

6

5

）；
（2）設(shè)

a

=（x'，y'），終點在直線Ax+By+C=0上
算出

a

•

b

=2x'+y'，

|b|

2=5，

2( a • b )

| b |2

b

=

2(2x′+y′)

5

（2，1）=（

8x′+4y′

5

，

4x′+2y′

5

），
∴

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

=（x'，y'）-（

8x′+4y′

5

，

4x′+2y′

5

）=（

-3x′-4y′

5

，

-4x′+3y′

5

）
因此，若

a′

=（x，y），滿足

x= -3x′-4y′ 5 y= -4x′+3y′ 5

，得到

x′= -3x-4y 5 y′= -4x+3y 5

∵點（

-3x-4y

5

，

-4x+3y

5

）在直線Ax+By+C=0上
∴A×

-3x-4y

5

+B×

-4x+3y

5

+C=0，化簡得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全為零，可得以上方程是一條直線的方程
即向量

a′

的終點也在一條直線上；
（3）∵

b

是單位向量，
∴設(shè)

a

=（x，y），

b

=（cosθ，sinθ），可得

a

•

b

=xcosθ+ysinθ，
所以

a′

=

a

-

2( a • b )

| b |2

b

=

a

-2（xcosθ+ysinθ）

b

=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵

a

的終點在拋物線x²=y上，且

a′

終點在拋物線y²=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）²，
化簡整理，通過比較系數(shù)可得cosθ=

2

2

，sinθ=-

2

2

或cosθ=-

2

2

，sinθ=

2

2

∴

b

=±（

2

2

，

2

2

），
∵曲線C和C′關(guān)于直線l：y=x對稱，
∴l(xiāng)的方向向量

d

=（1，1）．
可得

d

•

b

=0，即

d

⊥

b

，因此直線l與向量

b

垂直．

點評：本題給出向量的關(guān)系式，求證當向量

a

終點在一條直線上時，向量

a′

的終點也在一條直線上等問題．著重考查了向量的數(shù)量積運算、向量的坐標運算和曲線與方程的討論等知識，屬于中檔題．