Question

（2010•上海模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=

1

3

FD，F(xiàn)B⊥FC，F(xiàn)B=FC=2，E是BC的中點(diǎn)，四面體P-BCF的體積為

8

3

．
（1）求異面直線EF和PC所成的角；
（2）求點(diǎn)D到平面PBF的距離．

Answer 1

分析：解法一：向量法．首先利用PF⊥平面ABCD的特點(diǎn)，以F點(diǎn)為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量來求異面直線的夾角、點(diǎn)到面的距離．其中該異面直線的夾角可以轉(zhuǎn)換為

FE

與

PC

的夾角來求，點(diǎn)D到面PBF的距離是d=|

FD

 •

n0

|
解法二：定義法．利用平行關(guān)系作出異面直線EF與PC所成的角，利用幾何關(guān)系找出點(diǎn)D到PBF的距離．

解答：解：（解法一）
（1）由已知VP-BCF= 

1

3

S△BCF•PF=

1

3

•

1

2

• BF•CF•PF=

8

3

∴PF=4
如圖所示以F為原點(diǎn)以

FB

，

FC

，

FP

所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz
則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），由E是BC的中點(diǎn)，故E（1，1，0）
∴

FE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)
∴cos＜

PE

，

PC

＞=

PE • PC

| PE || PC |

=

2

2 × 20

=

10

10

∴異面直線EF和PC所成的角arccos

10

10

（2）平面PBF的單位法向量

n0

=（0，1，0）
∵

FD

=

3

4

BC

= (-

3

2

，

3

2

，0)
∴點(diǎn)D到面PBF的距離是d=|

FD

 •

n0

|=

3

2

（解法二）
（1）由已知VP-BCF= 

1

3

S△BCF•PF=

1

3

•

1

2

• BF•CF•PF=

8

3

∴PF=4
在平面ABCD內(nèi)，過C做CH∥EF，交AD于H，連接PH
則∠PCH（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與PC所成的角
在△PCH中，CH=

2

，PC=

20

，PH=

18

由余弦定理可得cos∠PCH=

10

10

∴異面直線EF和PC所成的角為arccos

10

10

（2）∵PF⊥平面ABCD，PF?平面PBA
∴平面PBF⊥平面ABCD
在平面ABCD內(nèi)過D作DK⊥BF，交BF延長(zhǎng)線與K，則DK⊥平面PBF
∴DK的長(zhǎng)就是點(diǎn)D到平面PBF的距離
∵BC=2

2

∴DF=

3

4

AD=

3

4

BC=

3

2

2

∵在△DFK中DK=DFsin45°=

3

2

∴點(diǎn)D到平面PBF的距離為

3

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了運(yùn)用向量法或定義法來求異面直線的夾角和點(diǎn)到面的距離，屬必考題，較難．解題的關(guān)鍵是在運(yùn)用向量法時(shí)應(yīng)注意異面直線的夾角的轉(zhuǎn)化，以及點(diǎn)到面的距離的向量公式！