Question

已知矩陣A=

2 0 0 3

，點(diǎn)M（-1，-1），點(diǎn)N（1，1）．
（1）求線段MN在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的線段M′N′的長度；
（2）求矩陣A的特征值與特征向量．

Answer 1

分析：（1）首先求M，N兩個(gè)點(diǎn)在此矩陣變換A下的像的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求變化后的線段M′N′的長度；
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答：解：（1）由

3 0 0 4

-1 -1

=

-3 -4

，

3 0 0 4

1 1

=

3 4

，
所以M′（-3，-4），N′（3，4）
所以M′N′=

(-3-3)2+(-4-4)2

=10
（2）f(λ)=

.

λ-3 0 0 λ-4

.

=(λ-3)(λ-4)=0
得矩陣A特征值為λ₁=3，λ₂=4，分別將λ₁=3，λ₂=4代入方程組可解得矩陣A
屬于特征值λ₁=3的特征向量為

α

 1=

0 1

，當(dāng)屬于特征值λ₂=4的特征向量為

α

 2=

1 0

．

點(diǎn)評：此題主要考查矩陣的乘法及矩陣變換的性質(zhì)在圖形變化中的應(yīng)用，考查了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．考查知識點(diǎn)比較多有一定的計(jì)算量．