Question

設n∈N^*，則6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余數是（　　）

A．-2

B．2

C．0

D．0或6

Answer 1

∵（6+1）ⁿ=1+6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ，則6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，
按照二項式定理展開可得，
（8-1）ⁿ=

C

0n

8n(-1)0

+C

1n

8n-1(-1)1+…+

C

nn

80(-1)n，
∵前n項中均有8的倍數，故均能被8整除，
∴最后一項為

C

nn

80(-1)n=（-1）ⁿ，
∴（8-1）ⁿ-1的最后兩項為（-1）ⁿ-1，
當n為奇數時，最后兩項為-1-1=-2除以8的余數為6，
當n為偶數時，最后兩項為1-1=0除以8的余數為0，
∴6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余數是0或6．
故選：D．