Question

已知數列的相鄰兩項，是關于方程的兩根，且.

（1）求證：數列是等比數列；

（2）求數列的前項和；

（3）設函數，若對任意的都成立，求實數 的取值范圍.

 

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由一元二次方程根與系數的關系可得數列的遞推公式：，

設，易求得：，，

并注意到: ,可知數列是公比為的等比數列.

（2）由（1）的結果得數列的通項公式,于是: ,的拆項法,將數列的前項和化為兩個等比數列的前和.

（3）由韋達定理：=

所以，采用分離變量法求將求實數 的取值范圍問題，轉變成求關于的函數的最值問題.

試題解析：（1）∵，∴，

∵，

∴，

∴是首項為，公比為的等比數列。

且 4分

（2）由（1）得=

8分（注：未分奇偶寫也得8分）

（3）∵，

∴,∴,

∴.

∴當為奇數時，，

∴對任意的為奇數都成立，∴。 11分

∴當為偶數時，，

∴，

∴對任意的為偶數都成立，∴ 13分

綜上所述，實數的取值范圍為。 14分

考點：1、一元二次方程根與系數的關系；2、等比數列的前項和；3、等價轉化的思想.