Question

（2013•綿陽二模）已知各項均不為零的數列{a_n}的首項a₁=

3

4

，2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1n∈N₊，k是不等于1的正常數）．
（I ）試問數列{

1

an

-

2

k-1

}是否成等比數列，請說明理由；
（II）當k=3時，比較a_n與

3n+4

3n+5

的大小，請寫出推理過程．

Answer 1

分析：（I ）通過已知條件2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1，推出

1

an+1

，然后推出

1

an+1

-

2

k-1

與

1

an

-

2

k-1

的關系，即可判斷數列{

1

an

-

2

k-1

}成等比數列；
（II）當k=3時，求出a_n，然后求出a_n-

3n+4

3n+5

的差值，構造函數利用函數的單調性說明兩者的大小關系．

解答：解：（Ⅰ）由 2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1，可得

1

an+1

=

1

k

(2+

1

an

)，
∴

1

an+1

-

2

k-1

=

1

k

(2+

1

an

)-

2

k-1

=

1

k

(

1

an

-

2

k-1

)，首項為

1

a1

-

2

k-1

=

4

3

-

2

k-1

．
若

4

3

-

2

k-1

=0，即k=

5

2

時，數列{

1

an

-

2

k-1

}為零數列，不成等比數列．
若

4

3

-

2

k-1

≠0，即k＞0，k≠1且k≠

5

2

時，
數列{

1

an

-

2

k-1

}是以

4

3

-

2

k-1

為首項，

1

k

為公比的等比數列．
∴綜上所述，當k=

5

2

時，數列{

1

an

-

2

k-1

}不成等比數列；當k＞0，k≠1且k≠

5

2

時，數列{

1

an

-

2

k-1

}是等比數列．…（6分）
（Ⅱ）當k=3時，數列{

1

an

-1}是以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列．
∴

1

an

-1=(

1

3

)n，即a_n=

3n

3n+1

=1-

1

3n+1

，
∴a_n-

3n+4

3n+5

=1-

1

3n+1

-（1-

1

3n+5

）=

1

3n+5

-

1

3n+1

=

3n-3n-4

(3n+5)(3n+1)

，
令F（x）=3^x-3x-4（x≥1），則F′（x）=3^xln3-3≥F′（1）＞0，
∴F（x）在[1，+∞）上是增函數．
而F（1）=-4＜0，F（2）=-1＜0，F（3）=14＞0，
∴①當n=1和n=2時，a_n＜

3n+4

3n+5

；
②當n≥3時，3ⁿ+1＞3n+5，即

1

3n+5

＞

1

3n+1

，此時a_n＞

3n+4

3n+5

．
∴綜上所述，當n=1和n=2時，a_n＜

3n+4

3n+5

；當n≥3時，a_n＞

3n+4

3n+5

．…（12分）

點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，構造法與函數的導數判斷函數值的大小，以及作差法的應用，考查分析問題解決問題的能力．