Question

【題目】選修4﹣4：坐標系與參數方程 曲線C1的參數方程為 （α為參數），在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；
（2）若射線l：y=kx（x≥0）與曲線C1 ， C2的交點分別為A，B（A，B異于原點），當斜率k∈（1， ]時，求|OA||OB|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的直角坐標方程為（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，

∴曲線C1的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

∵曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，

∴曲線C2的直角坐標方程為x2=y

（2）解：設射線l的傾斜角為α，

則射線l的參數方程為 （t為參數， ）．

把射線l的參數方程代入曲線C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，

解得t1=0，t2=2cosα．

∴|OA|=|t2|=2cosα．

把射線l的參數方程代入曲線C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，

解得t1=0，t2= ．

∴|OB|=|t2|= ．

∴|OA||OB|=2cosα =2tanα=2k．

∵k∈（1， ]，∴2k∈（2，2 ]．

∴|OA||OB|的取值范圍是（2，2 ]

【解析】（1）先將C1的參數方程化為普通方程，再華為極坐標方程，將C2的極坐標方程兩邊同乘ρ，根據極坐標與直角坐標的對應關系得出C2的直角坐標方程；（2）求出l的參數方程，分別代入C1 ， C2的普通方程，根據參數的幾何意義得出|OA|，|OB|，得到|OA||OB|關于k的函數，根據k的范圍得出答案．