Question

設函數f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區間［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.

(1)試判斷函數y=f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)=0在閉區間［-2 005，2 005］上的根的個數，并證明你的結論.

Answer 1

解析：(1)由f(2-x)=f(2+x)得函數y=f(x)的對稱軸為x=2,∴f(-1)=f(5).而f(5)≠0f(1)≠f(-1)，即f(x)不是偶函數.

    又∵f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,

∴f(0)≠0.

    從而知函數y=f(x)不是奇函數.故函數y=f(x)是非奇非偶函數.

(2)

f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)，從而知函數y=f(x)的周期為T=10.

    又f(3)=f(1)=0,

∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,

    故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2個根，從而可知函數y=f(x)在［0，2 000］上有400個根，在［2 000，2 005］上有2個根，在［-2 000，0］上有400個根，在［-2 005，-2 000］上沒有根.所以函數y=f(x)在［-2 005,2 005］上有802個根.