Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP＝m．

(1)試確定m，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3；

(2)在線段A₁C₁上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)如圖，連接AC，設AC∩BD＝O，AP與面BDD1B1交于點G，連結OG，因為PC∥面BDD1B1，而BDD1B1∩面APC＝OG，故OG∥PC，所以OG＝PC＝．又AO⊥DB，AO⊥BB1，所以AO⊥面BDD1B1，故∠AGO即為AP與面BDD1B1所成的角． 　　在Rt△AOG中，tan∠AGO＝， 　　即m＝． 　　故當m＝時，直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3． 　　(2)依題意，要在A1C1上找一點Q，使得D1Q⊥AP，可推測A1C1的中點O1即為所求的Q點， 　　因為D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，所以D1O1⊥面ACC1A1． 　　又AP面ACC1A1，故D1O1⊥AP． 　　從而D1O1在平面AD1P上的射影與AP垂直． 　　 　　(2)若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，則Q(x，1－x，1)，＝(x，1－x，0)． 　　依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于D1Q⊥AP·＝0－x＋(1－x)＝0x＝． 　　即Q為A1C1的中點時，滿足題設要求． 　　點評：本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識及空間想象能力和推理運算能力．考查應用向量知識解決數學問題的能力．