Question

對于任意實數(shù)a，要使函數(shù)Y=5cox（-）（k∈N^*）在區(qū)間[a，a+3]上的值出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)一個周期有且只有2個不同的自變量使其函數(shù)值為 ，故出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，得到該函數(shù)在此區(qū)間上至少2個周期，至多4個周期，由區(qū)間的長度為3，列出關(guān)于周期T的不等式組，再找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的周期T，將求出的T代入不等式組得到關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集中的正整數(shù)解即可得到k的值．
解答：解：函數(shù)在一個周期內(nèi)有且只有2個不同的自變量使其函數(shù)值為 ，
因此該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期，
因此，即 ，
又∵ω=π，∴T=，
∴，
解得 ，又k∈N，
則k=2或3．
故答案為：2或3
點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．根據(jù)題意得出該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期是本題的突破點，將所求的k的值進行轉(zhuǎn)化與化歸，列出關(guān)于k的不等式是解決本題的關(guān)鍵，充分利用函數(shù)的周期性和區(qū)間長度的關(guān)系，注意不等式思想的運用．