Question

對于任意實數a，要使函數Y=5cox（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N^*）在區間[a，a+3]上的值

5

4

出現的次數不小于4次，又不多于8次，則k=

2和3

．

Answer 1

分析：根據函數一個周期有且只有2個不同的自變量使其函數值為

5

4

，故

5

4

出現的次數不小于4次，又不多于8次，得到該函數在此區間上至少2個周期，至多4個周期，由區間的長度為3，列出關于周期T的不等式組，再找出ω的值，代入周期公式求出函數的周期T，將求出的T代入不等式組得到關于k的不等式組，求出不等式組的解集中的正整數解即可得到k的值．

解答：解：函數在一個周期內有且只有2個不同的自變量使其函數值為

5

4

，
因此該函數在區間[a，a+3]（該區間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期，
因此

3≥2T 3≤4T

，即

3

4

≤T≤

3

2

，
又∵ω=

2k+1

3

π，∴T=

6

2k+1

，
∴

3

4

≤

6

2k+1

≤

3

2

，
解得

3

2

≤k≤

7

2

，又k∈N，
則k=2或3．
故答案為：2或3

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，考查了轉化的數學思想．根據題意得出該函數在區間[a，a+3]（該區間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期是本題的突破點，將所求的k的值進行轉化與化歸，列出關于k的不等式是解決本題的關鍵，充分利用函數的周期性和區間長度的關系，注意不等式思想的運用．