Question

設函數f(x)=sinxcosx-

3

cos(x+π)cosx（x∈R）
（I）求函數f（x）圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標；
（II）若函數y=f（x）的圖象按

b

=(

π

4

，

3

2

)平移后得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）在(0，

π

2

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）化簡f（x）的解析式為sin(2x+

π

3

)+

3

2

，由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 求得對稱軸方程；令sin(2x+

π

3

)=0 可得 2x+

π

3

=kπ，k∈z，解得 x的值，即為對稱中心的橫坐標，再由對稱中心的縱坐標為

3

2

求出對稱中心坐標．
（II）求出g（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

．根據0＜x≤

π

2

，可得-

π

6

＜2x-

π

6

≤

5π

6

，故-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，從而求得g（x）的值域．

解答：解：（I）函數f(x)=sinxcosx-

3

cos(x+π)cosx=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 求得對稱軸方程為x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
令sin(2x+

π

3

)=0 可得 2x+

π

3

=kπ，k∈z，解得 x=-

π

6

+

kπ

2

，
故對稱中心坐標為(-

π

6

+

kπ

2

，

3

2

)，k∈Z．
（II）函數y=f（x）的圖象按

b

=(

π

4

，

3

2

)平移后得到函數y=g（x）=sin[2(x-

π

4

)+

π

3

]+

3

2

+

3

2

 
=sin（2x-

π

6

）+

3

．
再由 0＜x≤

π

2

，可得-

π

6

＜2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，
-

1

2

+

3

＜sin（2x-

π

6

）+

3

≤1+

3

．
故y=g（x）在(0，

π

2

]上的取值范圍是(-

1

2

+

3

，1+

3

]．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，三角函數的對稱性，屬于中檔題．