Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E為BC的中點，點M，N分別為棱DD1 ， A1D1的中點．

（1）求證：平面CMN∥平面A1DE；
（2）求證：平面A1DE⊥平面A1AE．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵M，N分別為棱DD1，A1D1的中點，∴MN∥A1D，

∵A1D平面A1DE，MN平面A1DE，∴MN∥平面A1CD．

∵E是BC中點，N是A1D1的中點，∴A1N=CE，A1N∥CE，

∴四邊形A1ECN是平行四邊形，∴CN∥A1E，

∵A1E平面A1DE，CN平面A1DE，∴CN∥平面A1CD，

又∵MN∩CN=N，MN平面MCN，CN平面MCN，

∴平面CMN∥平面A1DE．

（2）

證明：∵AA1⊥平面ABCD，DE平面ABCD，

∴AA1⊥DE．

∵AB=1，AD=2，E為BC的中點，

∴ ，

∴EA2+ED2=AD2，即AE⊥DE．

∵AA1平面AA1E，AE平面AA1E，AE∩AA1=A，

∴DE⊥平面A1AE．

又DE平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面A1AE．

【解析】（I）由中位線定理可得MN∥A1D，由長方體的結構特征可得四邊形A1ECN是平行四邊形，故CN∥A1E，從而平面CMN∥平面A1DE；（2）由AA1⊥平面ABCD可得AA1⊥DE，由線段的長度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，故DE⊥平面A1AE，從而平面A1DE⊥平面A1AE．
【考點精析】利用平面與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．