Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且經過點A（0，﹣1）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如果過點 的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N點與A點不重合），求證：△AMN為直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，且經過點A（0，﹣1），

∴b=1．

，解得a=2．

∴橢圓C的標準方程為 ．

（2）證明：若過點 的直線MN的斜率不存在，此時M，N兩點中有一個點與A點重合，不滿足題目條件．

若過點 的直線MN的斜率存在，設其斜率為k，則MN的方程為 ，

由 ，得 ．

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則 ，

∴ ，

∵A（0，﹣1），

∴

=

∴AM⊥AN，∴△AMN為直角三角形．

【解析】（1）由橢圓C： =1（a＞b＞0）經過點A（0，﹣1），求出b，由離心率為 ，求出a，由此能求出橢圓C的標準方程．（2）設MN的方程為 ，與橢圓聯立，得 ，由此利用韋達定理、根的判別式、向量的數量積，結合已知條件能證明△AMN為直角三角形．