Question

【題目】已知在四棱錐中，平面，，是邊長為2的等邊三角形，，為的中點．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正切值為2，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由等腰三角形和線面垂直的性質可得，，由線面垂直的判定即可證明平面，再由線面垂直的性質即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，利用即可得解.

（1）證明：為等邊三角形，為的中點，

，

又平面，平面，，

，，平面，平面，

又平面，.

（2）過點作，易知、、兩兩垂直；

以為原點，分別以、、作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖；

平面，直線與平面所成角，

，，

，，，，

，，，

設平面的一個法向量為，

則即，令，則，

設平面的一個法向量為，

則即，令，則，

，

二面角的大小為.