Question

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點．
 
(1)求證：DE∥平面PBC；
(2)求證：DE⊥平面PAB.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)設PB的中點為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

所以EF∥DC，且EF＝DC＝AB.
故四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED∥CF.
又ED?平面PBC，CF?平面PBC，
故DE∥平面PBC.
(2)因為PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PD.
又因為AB⊥AD，PD∩AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.
ED?平面PAD，故ED⊥AB.又PD＝AD，E為PA的中點，故ED⊥PA；
PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
所以ED⊥平面PAB.