Question

兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖2中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a₁=1，第2個五角形數記作a₂=5，第3個五角形數記作a₃=12，第4個五角形數記作a₄=22，…，若按此規律繼續下去，得數列{a_n}，則a_n-a_n-1=

3n-2（n≥2）

．

Answer 1

分析：根據題目所給出的五角形數的前幾項，發現該數列的特點是，從第二項起，每一個數與前一個數的差構成了一個等差數列，由此可得結論．

解答：解：a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，
由此可知數列{a_n+1-a_n}構成以4為首項，以3為公差的等差數列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
所以a_n-a_n-1=3（n-1）+1=3n-2（n≥2）
故答案為：3n-2（n≥2）

點評：本題考查了等差數列的判斷，考查學生分析解決問題的能力，解答此題的關鍵是能夠由數列的前幾項分析出數列的特點，屬于中檔題．