Question

設圓x²+y²=1的一條切線與x軸、y軸分別交于點A、B，則線段AB長度的最小值為

 

．

Answer 1

分析：如圖的所示：AB=BD+AD，所以要分別求解，先設切點為D，∠OAB=α(0＜α＜

π

2

)，連接OD，有OD⊥AB，從而AD=

1

tanα

=

cosα

sinα

，BD=

1

tan( π 2 -α)

=

sinα

cosα

，建立線段AB長的模型為：AB=

cosα

sinα

+

sinα

cosα

=

1

sinαcosα

=

2

sin2α

，再由三角函數的最值求解．

解答：解：設切點為D，∠OAB=α(0＜α＜

π

2

)，則連接OD知OD⊥AB，
從而得到AD=

1

tanα

=

cosα

sinα

，BD=

1

tan( π 2 -α)

=

sinα

cosα

，
∴線段AB=

cosα

sinα

+

sinα

cosα

=

1

sinαcosα

=

2

sin2α

(0＜α＜

π

2

)，
∵sin2α∈（0.1]
∴線段AB長度的最小值為2．
故答案為：2

點評：本題主要通過直線與圓的位置關系，考查學生建立三角函數模型的能力和解決模型的能力．