Question

（2012•遼寧模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為長方形，AD=2AB，點E、F分別是線段PD、PC的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）在線段AD上是否存在一點O，使得BO⊥平面PAC，若存在，請指出點O的位置，并證明BO⊥平面PAC；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據平行線的傳遞性，得到EF∥AB，再結合線面平行的判定定理，可得EF∥平面PAB．
（II）在線段AD上存在靠A點較近的一個四等分點O，使得BO⊥平面PAC．先在長方形ABCD中，證出△ABO∽△ADC，利用角互余的關系，得到AC⊥BO，再利用線面垂直的判定定理，可證出PA⊥BO，結合PA、AC是平面PAC內的相交直線，最終得到BO⊥平面PAC．

解答：證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為長方形，
∴CD∥AB，
∵EF∥CD，∴EF∥AB，
又∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB． …（6分）
（Ⅱ） 在線段AD上存在一點O，使得BO⊥平面PAC，
此時點O為線段AD的四等分點，滿足AO=

1

4

AD，…（8分）
∵長方形ABCD中，
∠BAO=∠ADC=90°，

AO

DC

=

BA

AD

=

1

2

∴△ABO∽△ADC，
∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°，
∴AC⊥BO，（10分）
又∵PA⊥底面ABCD，BO?底面ABCD，
∴PA⊥BO，
∵PA∩AC=A，PA、AC?平面PAC
∴BO⊥平面PAC．（12分）

點評：本題以底面為長方形、一條側棱垂直于底的四棱錐為載體，通過證明線線垂直和線面平行，著重考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．