Question

【題目】若函數f(x)滿足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).

(1)求函數f(x)的解析式，并判斷其奇偶性和單調性；

(2)當x∈(－∞，2)時，f(x)－4的值恒為負數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]．

【解析】　試題分析：（1）利用換元法求函數解析式，注意換元時元的范圍，再根據奇偶性定義判斷函數奇偶性，最后根據復合函數單調性性質判斷函數單調性（2）不等式恒成立問題一般轉化為對應函數最值問題：即f(x)最大值小于4，根據函數單調性確定函數最大值，自在解不等式可得a的取值范圍．

試題解析：

(1)令logax＝t(t∈R)，則x＝at，

∴f(t)＝ (at－a－t)．

∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．

∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數．

當a＞1時，y＝ax為增函數，y＝－a－x為增函數，且＞0，

∴f(x)為增函數．

當0＜a＜1時，y＝ax為減函數，y＝－a－x為減函數，且＜0，

∴f(x)為增函數．∴f(x)在R上為增函數．

(2)∵f(x)是R上的增函數，∴y＝f(x)－4也是R上的增函數．

由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒為負數，

只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.

∴ ()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，

∴2－≤a≤2＋.又a≠1，

∴a的取值范圍為[2－，1)∪(1,2＋]．