Question

34、在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是AB，BC的中點．
（1）求證：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）若在棱DD₁上有一點P，使BD₁∥平面PMN，求線段DP與PD₁的比．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由正方形性質得AC⊥BD，又由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是AB，BC的中點，易得MN∥AC，則MN⊥BD．BB₁⊥MN，由線面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB₁D₁D，進而由面面垂直的判定定理，可得平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）設MN與BD的交點是Q，連接PQ，PM，PN，由線面平行的性質定理，我們易由BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，得BD₁∥PQ，再由平行線分線段成比例定理，得到線段DP與PD₁的比．

解答：解：（1）證明：連接AC，則AC⊥BD，
又M，N分別是AB，BC的中點，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BB₁⊥平面ABCD，
∵MN?平面ABCD，
∴BB₁⊥MN，
∵BD∩BB₁=B，
∴MN⊥平面BB₁D₁D，
∵MN?平面B₁MN，
∴平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D．
（2）設MN與BD的交點是Q，連接PQ，PM，PN
∵BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，
∴BD₁∥PQ，
∴DP：PD₁=DQ：QB=3：1．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質，其中熟練掌握空間線面關系的判定、性質、定義，建立良好的空間想像能力是解答此類問題的關鍵．