Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數在區間[1,2]上的最大值；

（2）設在(0,2)內恰有兩個極值點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）對函數求導，判斷函數單調性，由單調性即可得到函數的最值；（2）先求出f′（x），由題意知：mx2﹣4x+m＝0在（0，2）有兩個變號零點，即在（0，2）有兩個變號零點，構造函數，利用導數求出最值即可．

（1），∴p′（x）＝ex﹣，

∴p″（x）＝ex+＞0恒成立

所以p′（x）＝ex﹣在[1,2]單調遞增，

∵p'（1）＝e﹣3＜0，，∴x0∈（1，2），使p'（x0）＝0，

當x∈[1，x0]時，p'（x）＜0，p（x）單調遞減；

當x∈[x0，2]時，p'（x）＞0，p（x）單調遞增．

又，>e+2

∴p（x）在[1，2]上的最大值為p（2）＝e2﹣3ln2+2．

（2），，

由題意知：=0在(0,2)有兩個變號零點，

即在(0,2)有兩個變號零點

令，，

令則x=1，且時，，g(x)單調遞增；時，g(x)單調遞減，

又g(0)=0,g(1)=2,g(2)=，