Question

【題目】某大學為調研學生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分．整理評分數據，將分數以10為組距分成6組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐廳分數的頻率分布直方圖，和B餐廳分數的頻數分布表：

B餐廳分數頻數分布表
分數區間	頻數
[0，10）	2
[10，20）	3
[20，30）	5
[30，40）	15
[40，50）	40
[50，60]	35

定義學生對餐廳評價的“滿意度指數”如下：

分數	[0，30）	[30，50）	[50，60]
滿意度指數	0	1	2

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評價“滿意度指數”為0的人數；
（Ⅱ）從該校在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調查，試估計其對A餐廳評價的“滿意度指數”比對B餐廳評價的“滿意度指數”高的概率；
（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由對A餐廳評分的頻率分布直方圖，得

對A餐廳“滿意度指數”為0的頻率為（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，

所以，對A餐廳評價“滿意度指數”為0的人數為100×0.2=20．

（Ⅱ）設“對A餐廳評價‘滿意度指數’比對B餐廳評價‘滿意度指數’高”為事件C．

記“對A餐廳評價‘滿意度指數’為1”為事件A1；“對A餐廳評價‘滿意度指數’為2”為事件A2；“對B餐廳評價‘滿意度指數’為0”為事件B0；“對B餐廳評價‘滿意度指數’為1”為事件B1．

所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，

由用頻率估計概率得： ， ．

因為事件Ai與Bj相互獨立，其中i=1，2，j=0，1．

所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）

=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．

所以該學生對A餐廳評價的“滿意度指數”比對B餐廳評價的“滿意度指數”高

的概率為0.3．

（Ⅲ）如果從學生對A，B兩家餐廳評價的“滿意度指數”的期望角度看：

A餐廳“滿意度指數”X的分布列為：

X	0	1	2
P	0.2	0.4	0.4

B餐廳“滿意度指數”Y的分布列為：

Y	0	1	2
P	0.1	0.55	0.35

因為EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；

EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，

所以EX＜EY，會選擇B餐廳用餐

【解析】（Ⅰ）由對A餐廳評分的頻率分布直方圖，求解對A餐廳“滿意度指數”為0的頻率．然后求解對A餐廳評價“滿意度指數”為0的人數．（Ⅱ）設“對A餐廳評價‘滿意度指數’比對B餐廳評價‘滿意度指數’高”為事件C．記“對A餐廳評價‘滿意度指數’為1”為事件A1；“對A餐廳評價‘滿意度指數’為2”為事件A2；“對B餐廳評價‘滿意度指數’為0”為事件B0；“對B餐廳評價‘滿意度指數’為1”為事件B1．求出概率，利用獨立重復概率乘法公式求解即可．（Ⅲ）從學生對A，B兩家餐廳評價的“滿意度指數”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出結果．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．