Question

【題目】如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED= ．M為棱FC上一點，平面ADM與棱FB交于點N．
（Ⅰ）求證：ED⊥CD；
（Ⅱ）求證：AD∥MN；
（Ⅲ）若AD⊥ED，試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出 的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因為ABCD為矩形，所以VD⊥AD．

又因為CD⊥EA，

所以CD⊥平面EAD．

所以ED⊥CD．

（Ⅱ）證明：因為ABCD為矩形，所以AD∥BC，

所以AD∥平面FBC．

又因為平面ADMN∩平面FBC=MN，

所以AD∥MN

（Ⅲ）解：平面ADMN與平面BCF可以垂直．證明如下：

連接DF．

因為AD⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，

所以AD⊥平面CDEF．

所以AD⊥DM．

因為AD∥MN，所以DM⊥MN．

因為平面ADMN∩平面FBC=MN，

若使平面ADMN⊥平面BCF，

則DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．

在梯形CDEF中，因為EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED= ，

所以DF=DC=2．

所以若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點．

所以 = ．

【解析】（Ⅰ）證明：CD⊥平面EAD，即可證明ED⊥CD；（Ⅱ）證明AD∥平面FBC，即可證明：AD∥MN；（Ⅲ）若使平面ADMN⊥平面BCF，則DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2．若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)，還要掌握直線與平面垂直的性質(垂直于同一個平面的兩條直線平行)的相關知識才是答題的關鍵．