Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}，a₁＝1，且a₂，a₄－2，a₆成等比數列．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)已知數列{b_n}的通項公式是b_n＝2^n－1，集合A＝{a₁，a₂，…，a_n，…}，B＝{b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}．將集合A∩B中的元素按從小到大的順序排成一個新的數列{c_n}，求數列{c_n}的前n項和S_n.

Answer 1

（1）a_n＝3n－2.（2）

(1)設等差數列{a_n}的公差為d.
由題意(a₄－2)²＝a₂a₆得(3d－1)²＝(1＋d)(1＋5d)．
解得d＝3或者d＝0.因為公差d不為0，所以d＝3.
故a_n＝3n－2.
(2)由題意知數列{c_n}是數列{a_n}與數列{b_n}的公共項，令2^n－1＝3m－2，
則2ⁿ＝2·2^n－1＝6m－4＝3(2m－1)－1不是數列{c_n}的項，2^n＋1＝2^n－1·2²＝12m－8＝3(4m－2)－2是數列{c_n}的項．
所以{c_n}是以a₁＝b₁＝1為首項，4為公比的等比數列，即
c_n＝4^n－1，
故S_n＝.