Question

【題目】設f（x）=﹣ x3+ x2+2ax．
（1）當a=1時，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．
（2）若f （x）在（ ，+∞）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣x2+x+2 令f′（x）=0，x=2或x=﹣1

f′（x）＞0解得﹣1＜x＜2 f′（x）＞0解得 x＞2或x＜﹣1

所以f（x）在（2，4），）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增．

所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（2）= ．．

又f（4）﹣f（1）=﹣ +6＜0，即f（4）＜f（1），

所以f（x）在[1，4]上的最小值為f（4）=8﹣ =﹣

（2）解：由f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣ ）2+ +2a，

當x∈（ ，+∞）時，f′（x）的最大值為f′（ ）= +2a，令 +2a＞0，得a＞﹣ ，

所以，當a＞﹣ 時，f（x）在（ ，+∞）上存在單調遞增區間

【解析】（1）當a=1時，求出導函數，求出極值點，判斷函數的單調性，然后求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）利用導函數是二次函數，判斷導函數的最值，討論a的范圍，利用f （x）在（ ，+∞）上存在單調遞增區間，即可求a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．