Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

(1)由題意得到關于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.

(2)設出點M，N的坐標，在斜率存在時設方程為, 聯立直線方程與橢圓方程，根據已知條件，已得到m,k的關系，進而得直線MN恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點Q的位置.

(1)由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.

(2)設點.

因為AM⊥AN，∴，即,①

當直線MN的斜率存在時，設方程為,如圖1.

代入橢圓方程消去并整理得：,

②,

根據,代入①整理可得：

將②代入，，

整理化簡得,

∵不在直線上，∴，

∴，

于是MN的方程為，

所以直線過定點直線過定點.

當直線MN的斜率不存在時，可得,如圖2.

代入得,

結合,解得,

此時直線MN過點,

由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，

所以AE中點Q滿足為定值（AE長度的一半）.

由于，故由中點坐標公式可得.

故存在點，使得|DQ|為定值.