Question

已知動圓G過點F（，0），且與直線l：x=-相切，動圓圓心G的軌跡為曲線E．曲線E上的兩個動點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知=-9（O為坐標原點），探究直線AB是否恒過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過，請說明理由．
（3）已知線段AB的垂直平分線交x軸于點C，其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4．求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，圓心G到定點F（，0）的距離與到直線l：x=-的距離相等，由此可求曲線E的方程；
（2）當直線AB不垂直x軸時，設直線AB方程為y=kx+b代入拋物線方程，利用韋達定理及=-9，可求直線AB方程，從而可得直線AB恒過定點；當直線AB垂直x軸時，也過定點．
（3）設線段AB的中點為M（x，y），求出線段AB的垂直平分線的方程，直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達定理，進而可得S_△ABC=|AB|h=，利用換元法，構造函數，利用導數知識，即可求得結論．
解答：解：（1）依題意，圓心G到定點F（，0）的距離與到直線l：x=-的距離相等，
∴曲線E是以F（，0）為焦點，直線l：x=-為準線的拋物線．
∴曲線E的方程為y²=6x．（3分）
（2）當直線AB不垂直x軸時，設直線AB方程為y=kx+b （k≠0）．
由消去x得ky²-6y+6b=0，△=36-24kb＞0．
∴y₁y₂=，x₁x₂===．
∴=x₁x₂+y₁y₂=+=-9，
∴b²+6kb+9k²=0，∴（b+3k）²=0，∴b=-3k，滿足△＞0．
∴直線AB方程為y=kx-3k，即y=k（x-3），
∴直線AB恒過定點（3，0）．（7分）
當直線AB垂直x軸時，可推得直線AB方程為x=3，也過點（3，0）．
綜上，直線AB恒過定點（3，0）．（8分）
（3）設線段AB的中點為M（x，y），則
x==2，y=，∴==
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-y=-（x-2）．
令y=0，得x=5，故C（5，0）為定點．
又直線AB的方程為y-y=（x-2），與y²=6x聯立，消去x得y²-2yy+2-12=0．
由韋達定理得y₁+y₂=2y，y₁y₂=2-12．
∴|AB|=
∵點C到直線AB的距離為h=|CM|=
∴S_△ABC=|AB|h=
令t=9+（t＞9），則12-=21-t
設f（t）=（9+）²（12-）=t²（21-t）=-t³+21t²，∴f′（t）=-3t（t-14）
當9＜t＜14時，f′（t）＞0；當t＞14時，f′（t）＜0．
∴f（t）在（9，14）上單調遞增，在（14，+∞）上單調遞減．
∴當t=14時，[f（t）]_max=14²×7．故△ABC面積的最大值為．（13分）
點評：本題考查拋物線的定義，考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算及最值的求解，屬于中檔題．