Question

【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面，它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成．如圖2，路面寬度，下部支撐箱CDEF為等腰梯形（），且．為了保證承重能力與穩定性，需下部支撐箱的面積為，高度為2m且，若路面AB．側邊CF和DE，底部EF的造價分別為4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a為正常數），．

（1）試用θ表示箱梁的總造價y（千元）；

（2）試確定cosθ的值，使總造價最低?并求最低總造價．

Answer 1

【答案】（1），，其中；（2）當的值為時，總造價最低，為千元．

【解析】

（1）過點F作于點H，由三角函數及支撐面面積可得，寫出總造價與θ的關系，并分析函數定義域；

（2）利用導數求函數的最小值，即可得到結論.

（1）過點F作于點H，則，

所以在中，，．

設，

則由題意得，解得，

所以，

故路面AB的造價為千元，

側邊CF和DE的造價為千元．

底部EF的造價為，

所以，

又因為，

則，

設銳角滿足，則．

因此，，，其中．

（2）由（1）知

設，其中，

則．

令，則．

因為．

所以，列表如下：

		－	0	＋
			4

所以當時，，有．

答：當的值為時，總造價最低，為千元．