Question

【題目】已知函數f（x）＝ax2+2ax﹣lnx﹣1，a∈R．

（1）當a時，求f（x）的單調區間及極值；

（2）若a為整數，且不等式f（x）≥x對任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞），極小值為，無極大值；（2）1

【解析】

（1）對函數求導，根據導數的符號求單調區間與極值；

（2）先由，再構造函數，求導研究其單調性及最小值，由其最小值非負求得的最小值．

解：（1）當時，，，，令，解得或1．易知當時，；當時，．故的單調遞減區間為，單調遞增區間為，的極小值為，無極大值；

（2）不等式對任意恒成立，當時，有，解得，為整數，

．令，，

，

令，易知在上單調遞減，在，上單調遞增，

．

不等式對任意恒成立，，即．令，，

則單調遞增，且，

故．所以的最小值為1．