Question

某種商品在30天內每克的銷售價格P（元）與時間t的函數圖象是如圖所示的兩條線段AB，CD（不包含A，B兩點）；該商品在30天內日銷售量Q（克）與時間t（天）之間的函數關系如表所示．

第t天	5	15	20	30
銷售量Q克	35	25	20	10

（1）根據提供的圖象，寫出該商品每克的銷售價格P（元）與時間t的函數關系式；
（2）根據表中數據寫出一個反映日銷售量Q隨時間t變化的函數關系式；
（3）在（2）的基礎上求該商品的日銷售金額的最大值，并求出對應的t值．
（注：日銷售金額=每克的銷售價格×日銷售量）

Answer 1

【答案】分析：（1）設AB所在的直線方程為P=kt+20，將B點代入可得k值，由CD兩點坐標可得直線CD所在的兩點式方程，進而可得銷售價格P（元）與時間t的分段函數關系式．
（2）設Q=k₁t+b，把兩點（5，35），（15，25）的坐標代入，可得日銷售量Q隨時間t變化的函數的解析式
（3）設日銷售金額為y，根據銷售金額=銷售價格×日銷售量，結合（1）（2）的結論得到答案．
解答：解：（1）由圖可知 A（0，20），B（25，45），C（25，75），D（30，70），
設AB所在的直線方程為P=kt+20，
把B（25，45）代入P=kt+20得 k=1．                   …（1分）
所以l_AB：P=t+20．                       …（2分）
由兩點式得CD所在的直線方程為．   …（3分）
整理得，P=-t+100，25≤t≤30，…（4分）
所以．                    …（5分）
（2）設Q=k₁t+b，把兩點（5，35），（15，25）的坐標代入得，
解得…（6分）
所以Q=-t+40．                                       …（7分）
把點（20，20），（30，10）代入Q=-t+40也適合，
即對應的四點都在同一條直線上，…（8分）
所以Q=-t+40（0＜t≤30）．                             …（9分）
（本題若把四點中的任意兩點代入Q=k₁t+b中求出k₁，b，再驗證也可以）
（3）設日銷售金額為y，依題意得，
當0＜t＜25時，y=（t+20）（-t+40），
配方整理得 y=-（t-10）²+900．                         …（10分）
所以當t=10時，y在區間（0，25）上的最大值為900，…（11分）
當25≤t≤30時，y=（-t+100）（-t+40），
配方整理得y=（t-70）²-900，…（12分）
所以當t=25時，y在區間[25，30]上的最大值為1125．       …（13分）
綜上可知日銷售金額最大值為1125元，此時t為25．         …（14分）
點評：本小題主要考查具體的函數模型在實際問題中的應用，考查數形結合、化歸轉化的數學思想方法，以及應用意識和運算求解能力