【題目】已知函數
，
（1）求函數
的單調遞增區間；
（2）若
且
，設
是函數
的零點.
（i）證明：
時存在唯一且
；
（ii）若
，記
，證明：
.
【答案】(1) 見解析；(2) （i）證明見解析.(2)（ii）證明見解析.
【解析】
(1)對
求導，分析導函數的正負得單調區間；
(2) （i）根據(1)得函數的單調性，判斷端點的函數的正負可得證；
(2) （ii）運用數列的裂項相消求和和不等式放縮技巧得證.
(1)由已知得
,
當
時，
，所以在
上單調遞增；
當
時，
，
，
，
所以在
和
單調遞減，
在
單調遞增.
綜上可得：
當時，在上單調遞增；
當時，在和單調遞減，
在單調遞增.
(2) （i）由(1)知：
，在上單調遞增；且
，
所以在
存在唯一的零點，
而
，
且
時，
，
所以：時存在唯一
且
，
故得證.
(2) （ii）當時，，所以 
所以
，
所以
，
又因為
，
所以
，
所以
，所以
，又
所以
所以
，
故得證.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面有三個游戲規則，袋子中分別裝有球，從袋中無放回地取球，問其中不公平的游戲是（ ）
游戲1 | 游戲2 | 游戲3 |
袋中裝有一個紅球和一個白球 | 袋中裝有2個紅球和2個白球 | 袋中裝有3個紅球和1個白球 |
取1個球， | 取1個球，再取1個球 | 取1個球，再取1個球 |
取出的球是紅球→甲勝 | 取出的兩個球同色→甲勝 | 取出的兩個球同色→甲勝 |
取出的球是白球→乙勝 | 取出的兩個球不同色→乙勝 | 取出的兩個球不同色→乙勝 |
A.游戲1B.游戲2C.游戲3D.游戲2和游戲3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】華為公司在2017年8月9日推出的一款手機，已于9月19日正式上市.據統計發現該產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：
廣告費用x（百萬元） | 4 | 2 | 3 | 5 |
銷售額y（百萬元） | 44 | 25 | 37 | 54 |
根據上表可得回歸方程
中的
為9.4，據此模型預測廣告費用為6百萬元時，銷售額為（ ）
A.61.5百萬元B.62.5百萬元C.63.5百萬元D.65.0百萬元
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種出口產品的關稅稅率
，市場價格
（單位：千元）與市場供應量
（單位：萬件）之間近似滿足關系式：
，其中
、
均為常數.當關稅稅率為
時，若市場價格為5千元，則市場供應量約為1萬件；當關稅稅率為時，若市場價格為7千元，則市場供應量約為2萬件.
（1）試確定、的值；
（2）市場需求量
（單位：萬件）與市場價格近似滿足關系式：
.當
時，市場價格稱為市場平衡價格.當市場平衡價格不超過4千元時，試確定關稅稅率的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是平行四邊形，
，側面
底面，
，
，
、
分別為
，
的中點，點
在線段
上.
（1）若為的中點，求證：平面
平面
;
（2）求證：
平面
;
（3）若
，求點
到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在長方形
中，
，
，點
為線段
上一動點，現將
沿
折起，使點
在面
內的射影
在直線上，當點從運動到
，則點所形成軌跡的長度為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校研究性學習小組對該校高二學生視力情況進行調查，學習小組成員發現，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學生進行了調查，得到如下數據：
年級名次 是否近視 | 1～50 | 951～1000 |
近視 | 41 | 32 |
不近視 | 9 | 18 |
（1）根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系？
（2）在（1）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一步調查他們良好的護眼習慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學生人數為
，求的分布列和數學期望.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附：
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