Question

已知橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)經過 點B(0，

3

)，且離心率為

1

2

，右頂點為A，左右焦點分別為F₁，F₂；橢圓C₂以坐標原點為中心，且以F₁F₂為短軸端，上頂點為D．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若C₁與C₂交于M、N、P、Q四點，當AD∥F₂B時，求四邊形MNPQ的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓經過點B(0，

3

)，且離心率為

1

2

，建立方程，求得幾何量，從而可得橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）C₂的短軸長為2，設方程為

y2

m2

+x2=1（m＞1），利用AD∥F₂B，可得C₂的方程，與橢圓方程聯立，根據對稱性，可得四邊形MNPQ的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓經過點B(0，

3

)，且離心率為

1

2

，∴e=

c

a

=

1

2

，b=

3

∴a=2，∴橢圓C₁的方程為

x 2

4

+

y 2

3

=1；
（Ⅱ）C₂的短軸長為2，設方程為

y2

m2

+x2=1（m＞1）
∴D（0，m），A）2，0），F₂（1，0）
∵AD∥F₂B，∴m=2

3

∴C₂的方程為

y2

12

+x2=1
設N（x₁，y₁），則

y12 12 +x12=1 x1 2   4 + y1 2   3 =1

，解得

x12= 4 5 y12= 12 5

，∴|x₁y₁|=

4 3

5

∴根據對稱性，可得四邊形MNPQ的面積為

16 3

5

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查面積的計算，考查學生的計算能力，確定橢圓的方程是關鍵．