Question

已知橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分別為橢圓c的左右焦點，點P在橢圓C上（不是頂點），△PF₁F₂內一點G滿足3

PG

=

PF1

+

PF2

，其中

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C短軸長為2

3

，過焦點F₂的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），若

AF2

=2

F2B

，求△F₁AB面積．

Answer 1

分析：（I）先確定G是△PF₁F₂的重心，坐標為(

1

9

a，

6

9

a)，從而可得P的坐標，利用點P在橢圓C上，即可求得橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求出橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，設直線AB的方程為x=my+1，與

x2

4

+

y2

3

=1，利用韋達定理及向量條件，可求得m=±

2 5

5

，進而利用|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，S=

1

2

|y1-y2| |F1F2|，即可求得△F₁AB面積．

解答：解：（I）由

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)，可得G的坐標為(

1

9

a，

6

9

a)
∵3

PG

=

PF1

+

PF2

，
∴G是△PF₁F₂的重心
令P的坐標是（x₀，y₀），則有

1 9 a= x0 3 6 9 a= y0 3

，∴

x0= a 3 y0= 6 a 3

∵點P在橢圓C上，∴

a2

9a2

+

6a2

9b2

=1
∴3a²=4b²，即4c²=a²，∴e=

1

2

；
（Ⅱ）∵橢圓C短軸長為2

3

，3a²=4b²
∴a=2，b=

3

，c=1
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AF2

=2

F2B

，∴y₁=-2y₂①
設直線AB的方程為x=my+1，與

x2

4

+

y2

3

=1聯立，消元整理可得（3m²+4）y²+6my-9=0
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

②，y1y2=-

9

3m2+4

③
由①②③，可得m=±

2 5

5

∴y1+y2=±

3 5

8

，y1y2=-

45

32

∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

9

8

5

∴△F₁AB面積S=

1

2

|y1-y2| |F1F2|=

1

2

×

9 5

8

×2=

9 5

8

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形的面積，屬于中檔題．