Question

【題目】用表示一個小于或等于的最大整數.如：，，. 已知實數列、、對于所有非負整數滿足，其中是任意一個非零實數.

（Ⅰ）若，寫出、、；

（Ⅱ）若，求數列的最小值；

（Ⅲ）證明：存在非負整數，使得當時，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）最小值為；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由，代入可得，同理可得：、；

（Ⅱ）由，可得，，設，，可得，因此，. 又因，可得，. 假設，都有成立，可得：，，利用累加求和方法可得，，則當時，，得出矛盾，，從而可得出的最小值；

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知，存在，，可得，，由此得出，，成立.；若，，推導出數列單調不減.由是負整數，可知存在整數和負整數，使得當時，.所以，當時，，轉化為，令，即，.經過討論：當時，得證.當時，，，，，當時，，則，則有界，進而證明結論.

（Ⅰ），，

同理可得：，；

（Ⅱ）因，則，所以，

設，，則，所以，.

又因，則，則，.

假設，都有成立，則，

則，，即，，

則，，則當時，，

這與假設矛盾，所以，不成立，

即存在，，從而的最小值為；

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知，存在，，

所以，所以，所以，，成立.

當時，若存在，，則，，得證；

若，，則，則，

則，，所以數列單調不減.

由于是負整數，所以存在整數m和負整數c，使得當時，.

所以，當時，，則，令，

即，.

當時，則，，則，，得證.

當時，，，，，

因當時，，則，則有界，

所以，所以負整數.

，則

令，滿足當時，.

綜上，存在非負整數，使得當時，.